KALIMAT TERBUKA DAN TERTUTUP

Kalimat matematika dapat berupa kalimat terbuka dan kalimat tertutup. Di mana kedua jenis kalimat ini akan menjadi bahasan halaman ini. Selanjutnya, apakah sudah cukup paham dengan pengertian kalimat matematika?

Simak bahasan berikutnya mengenai penjelasan masing – masing jenis kalimat matematika yang meliputi kalimat terbuka dan kalimat tertutup beserta dengan contoh kalimat terbuka dan contoh kalimat tertutup pada masing – masing bahasan di bawah.

Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum diketahui nilai kebenarannya. Kalimat matematika yang termasuk sebagai kalimat terbuka dapat bernilai benar dan dapat juga bernilai salah. Karakteristik dari kalimat matematika yang merupakan kalimat terbuka adalah memuat variabel dalam sebuah persamaan atau pertidaksamaan matematika. Hasil kesimpulan bahwa suatu kalimat terbuka akan bernilai benar atau bernilai salah tergantung dari nilai pengganti yang digunakan.

Misalkan diberikan sebuah kalimat matematika: 2x + 5 = 11

1. Kalimat tersebut akan bernilai benar ketika nilai variabel x diganti dengan 3. Seperti hasil yang diperoleh pada perhitungan berikut.
   2x + 5 = 11
   2x = 11 – 5
   x = 6 : 2
   x = 3
   
2. Namun, kalimat tersebut akan bernilai salah jika nilai variabel x diganti menjadi nilai selain 3. Misalkan diambil nilai x = 5, kalimat terbuka 2x + 5 = 11 tersebut akan bernilai salah.

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel – variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.

Contoh Kalimat Terbuka:

1. 2x – 9 = 17
2. 4y + 3 > 4
3. Dua dikali jumlah permen di dalam kotak ditambah 5 adalah dua puluh sembila (dalam kalimat matematika: 2x + 5 = 29)
4. Suatu bilangan dikuadratkan kemudian dikurangi empat hasilnya sama dengan nol (dalam kalimat matematika: x² – 4 = 0)

Apakah sudah cukup jelas penjelasan mengenai kalimat terbuka? Sudah kan pastinya. Berikutnya mari pahami apa itu kalimat tertutup.

Kalimat Tertutup

Pengertian dari kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah diketahui nilai kebenarannya. Kalimat tertutup hanya dapat bernilai salah atau hanya bernilai benar saja. Sudah jelas dan tidak bisa ditawar lagi nilai kebenarannya

Karakteristik dari kalimat matematika yang merupakan kalimat tertutup adalah tidak terdapat variabel dari suatu persamaan atau pertidaksamaan matematika yang diberikan. Misalnya diberikan pernyataan tiga ditambah empat sama dengan tujuh. Pernyataan tersebut merupakan kalimat tertutup yang bernilai benar.

Contoh lainnya adalah, diberikan pernyataan lima dikurang sembilan sama dengan empat. Meskipun nilai kebenaran dari pernyataan tersebut adalah salah. Namun kalimat tersebut tetap merupakan kalimat tertutup. Sebuah kalimat tertutup yang bernilai salah.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh – contoh pernyataan berikut yang merupakan kalimat tertutup.

Contoh kalimat tertutup:

1. 3 + 4 = 7 (kalimat tertutup bernilai benar)
2. 5 – 9 = 4 (kalimat tertutup bernilai salah, karena hasil dari 5 – 9 adalah – 4)
3. Jumlah ketiga sudut dalam segitiga adalah 180° (kalimat tertutup yang bernilai benar)
4. Ibukota dari Jawa barat adalah Jakarta (kalimat tertutup yang bernilai salah, karena ibukota dari Jawa Barat adalah Bandung)
5. Matahari terbit di sebelah timur (kalimat tertutup bernilai benar)

Bagaimana, apakah sobat idschool sudah bisa membedakan kalimat matematika mana yang merupakan kalimat terbuka dan maka kalimat matemtaika yang merupakan kalimat tertutup.

Demikianlah tadi ulasan materi mengenai kalimat terbuka dan tertutup. Juga bahasan contoh kalimat terbuka dan contoh kalimat tertutup. Terimakasih sudah mengunjungi idschool(dot)net, semoga bermanfaat.

Readmore..

Operasi Hitung Perkalian Bentuk Aljabar, Contoh Soal dan Pembahasan

 

Perlu kalian ingat bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

1. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb

Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut ini, kemudian sederhanakanlah.

a. 4(p + q)

b. 5(ax + by)

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)

d. -8(2x – y + 3z)

Penyelesaian:

a. 4(p + q) = 4p + 4q

b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6

= 3x + 42x – 6 + 6

= (3 + 42)x + 0

= 45x

d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y – 24z

Soal Tantangan

Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah (2x + 1) cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya (3x – 2) cm dan (4x – 5) cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

2. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut ini.

(ax + b)(cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)

= ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

= acx2 + adx + bcx + bd

= acx2 + (ad + bc)x + bd

Berfikir Kritis

Diskusikan dengan temanmu. Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, buktikan perkalian bentuk aljabar berikut. (ax + b)(ax – b) = a2x2 – b2(ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2(ax – b)2 = a2x2 – 2abx + b2

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut.

= ax × cx2 + ax × dx + ax × e + b × cx2 + b × dx + b × e

= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be

= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

Berfikir Kritis

Coba jabarkan perkalian bentuk aljabar (ax + b)(cx2 + dx + e) dengan menggunakan sifat distributif. Bandingkan hasilnya dengan uraian di atas.

Contoh:

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.

1. (2x + 3)(3x – 2)

2. (–4a + b)(4a + 2b)

3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4)

4. (x + 2)(x – 2)

Penyelesaian:

1. (2x + 3)(3x – 2) kita selesaian dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(2x + 3)(3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)

= 6x2 – 4x + 9x – 6

= 6x2 + 5x – 6

● Cara (2) dengan skema

= 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)

= 6x2 – 4x + 9x – 6

= 6x2 + 5x – 6

2. (–4a + b)(4a + 2b) kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(–4a + b)(4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)

= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2

= –16a2 – 4ab + 2b2

● Cara (2) dengan skema

= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b

= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2

= –16a2 – 4ab + 2b2

3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4) kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4)

= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4

= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4

= 2x3 – 5x2 + 10x – 4

● Cara (2) dengan skema

= 2x × x2 + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x2 + (– 1) × (–2x) + (–1) × 4

= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4

= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4

= 2x3 – 5x2 + 10x – 4

4. (x + 2)(x – 2) kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(x + 2)(x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2)

= x2 – 2x + 2x – 4

= x2 – 4

● Cara (2) dengan skema

= x × x + x × (–2) + 2 × x + 2 × (–2)

= x2 – 2x + 2x – 4

= x2 – 4

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan. Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian (x + a)(x – a) = x2 – a2? Diskusikan hal tersebut dengan temanmu.

Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan

1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini.

a. 2(–8a – 3b) –4a + 9b

b. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)

c. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m)

Penyelesaian:

a. 2(–8a – 3b) – 4a + 9b = -16a – 6b – 4a + 9b

= -16a – 4a – 6b + 9b

= (-16 – 4)a + (-6 + 9)b

= -20a + 3b

b. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)

= –12k2l – 9kl2 – 18k2l – 8kl2

= –12k2l – 18k2l – 9kl2 – 8kl2

= (-12 – 18)k2l + (-9 – 8)kl2

= -30k2l – 17kl2

c. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m)

= 15m3 – 25m2 + 5m – 2m3 – 8m2 + 18m

= 15m3 – 2m3 – 25m2 – 8m2 + 5m + 18m

= (15 – 2)m3 + (-25 – 8)m2 + (5 + 18)m

= 13m3 – 33m2 + 23m

2. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar berikut sebagai jumlah atau selisih.

a. -3(a – 2b + 5)

b. xy(x2 – 4)

c. 1/2(2x + 6)

d. 2(x + 3)

e. -3(2a + 5)

f. –p(p2 – 3)

Penyelesaian:

a. -3(a – 2b + 5) = -3a + 6b – 15

b. xy(x2 – 4) = x3y – 4xy

c. 1/2(2x + 6) = x + 3

d. 2(x + 3) = 2x + 6

e. -3(2a + 5) = -6a – 15

f. –p(p2 – 3) = -p3 + 3p

3. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagai perkalian konstanta dengan bentuk aljabar.

a. 5x – 15y

b. –2p + q – 3r

c. 3x2 + 9xy – 18xy2

d. –4p + 8r2

Penyelesaian:

a. 5x – 15y

konstanta-konstantanya adalah 5 dan -15. FPB dari 5 dan 15 adalah 5, maka bentuk perkalian konstantanya adalah sebagai berikut.

5x – 15y = 5(x – 3y)

b. –2p + q – 3r

konstanta-konstantanya adalah-2, 1 dan -3. FPB-nya sudah pasti 1, maka bentuk aljabar tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian konstanta.

c. 3x2 + 9xy – 18xy2

konstanta-konstantanya adalah 3, 9, dan -18. FPB dari bilangan-bilangan 3, 9 dan 18 adalah 3. Maka bentuk perkalian kontantanya adalah sebagai berikut.

3x2 + 9xy – 18xy2 = 3(x2 + 3xy – 6xy2)

d. –4p + 8r2

konstanta-konstantanya adalah -4 dan 8. FPB dari 4 dan 8 adalah 4. Dengan demikian, bentuk perkalian konstantanya adalah sebagai berikut.

–4p + 8r2 = 4(-p + 2r2)

Atau bisa juga dituliskan sebagai berikut.

–4p + 8r2 = -4(p – 2r2)

4. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini.

a. (x + 2)(x – 3)

b. (2x – 3)(x + 4)

c. (4k + 1)2

d. (3m + 2n)(3m – 2n)

e. (3 – a)(5 + a)

f. (2 + a)(a2 – 2a + 1)

Penyelesaian:

a. (x + 2)(x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3)

= x2 – 3x + 2x – 6

= x2 – x – 6

b. (2x – 3)(x + 4) = 2x(x + 4) – 3(x + 4)

= 2x2 + 8x – 3x – 12

= 2x2 + 5x – 12

c. (4k + 1)2 = (4k + 1)(4k + 1)

= 4k(4k + 1) + 1(4k + 1)

= 16k2 + 4k + 4k + 1

= 16k2 + 8k + 1

d. (3m + 2n)(3m – 2n) = 3m(3m – 2n) + 2n(3m – 2n)

= 9m2 – 6mn + 6mn – 4n2

= 9m2 – 4n2

e. (3 – a)(5 + a) = 3(5 + a) – a(5 + a)

= 15 + 3a – 5a – a2

= 15 – 2a – a2

f. (2 + a)(a2 – 2a + 1) = 2(a2 – 2a + 1) + a(a2 – 2a + 1)

= 2a2 – 4a + 2 + a3 – 2a2 + a

= a3 + 2a2 – 2a2 – 4a + a + 2

= a3 – 3a + 2

Readmore..