Operasi Hitung Perkalian Bentuk Aljabar, Contoh Soal dan Pembahasan

 

Perlu kalian ingat bahwa pada perkalian bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a × (b + c) = (a × b) + (a × c) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu a × (b – c) = (a × b) – (a × c), untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c. Sifat ini juga berlaku pada perkalian bentuk aljabar.

1. Perkalian antara konstanta dengan bentuk aljabar

Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k(ax) = kax k(ax + b) = kax + kb

Contoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut ini, kemudian sederhanakanlah.

a. 4(p + q)

b. 5(ax + by)

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1)

d. -8(2x – y + 3z)

Penyelesaian:

a. 4(p + q) = 4p + 4q

b. 5(ax + by) = 5ax + 5by

c. 3(x – 2) + 6(7x + 1) = 3x – 6 + 42x + 6

= 3x + 42x – 6 + 6

= (3 + 42)x + 0

= 45x

d. -8(2x – y + 3z) = -16x + 8y – 24z

Soal Tantangan

Panjang sisi miring segitiga siku-siku adalah (2x + 1) cm, sedangkan panjang sisi siku-sikunya (3x – 2) cm dan (4x – 5) cm. Tentukan luas segitiga tersebut.

2. Perkalian antara dua bentuk aljabar

Sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan.

Selain dengan cara tersebut, untuk menentukan hasil kali antara dua bentuk aljabar, dapat menggunakan cara sebagai berikut. Perhatikan perkalian antara bentuk aljabar suku dua dengan suku dua berikut.

Selain dengan cara skema seperti di atas, untuk mengalikan bentuk aljabar suku dua dengan suku dua dapat digunakan sifat distributif seperti uraian berikut ini.

(ax + b)(cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)

= ax × cx + ax × d + b × cx + b × d

= acx2 + adx + bcx + bd

= acx2 + (ad + bc)x + bd

Berfikir Kritis

Diskusikan dengan temanmu. Dengan memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, buktikan perkalian bentuk aljabar berikut. (ax + b)(ax – b) = a2x2 – b2(ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2(ax – b)2 = a2x2 – 2abx + b2

Adapun pada perkalian bentuk aljabar suku dua dengan suku tiga berlaku sebagai berikut.

= ax × cx2 + ax × dx + ax × e + b × cx2 + b × dx + b × e

= acx3 + adx2 + aex + bcx2 + bdx + be

= acx3 + (ad + bc)x2 + (ae + bd)x + be

Berfikir Kritis

Coba jabarkan perkalian bentuk aljabar (ax + b)(cx2 + dx + e) dengan menggunakan sifat distributif. Bandingkan hasilnya dengan uraian di atas.

Contoh:

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.

1. (2x + 3)(3x – 2)

2. (–4a + b)(4a + 2b)

3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4)

4. (x + 2)(x – 2)

Penyelesaian:

1. (2x + 3)(3x – 2) kita selesaian dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(2x + 3)(3x – 2) = 2x(3x – 2) + 3(3x – 2)

= 6x2 – 4x + 9x – 6

= 6x2 + 5x – 6

● Cara (2) dengan skema

= 2x × 3x + 2x × (–2) + 3 × 3x + 3 × (–2)

= 6x2 – 4x + 9x – 6

= 6x2 + 5x – 6

2. (–4a + b)(4a + 2b) kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(–4a + b)(4a + 2b) = –4a(4a + 2b) + b(4a + 2b)

= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2

= –16a2 – 4ab + 2b2

● Cara (2) dengan skema

= (–4a) × 4a + (–4a) × 2b + b × 4a + b × 2b

= –16a2 – 8ab + 4ab + 2b2

= –16a2 – 4ab + 2b2

3. (2x – 1)(x2 – 2x + 4) kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(2x – 1) (x2 – 2x + 4) = 2x(x2 – 2x + 4) – 1(x2 – 2x + 4)

= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4

= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4

= 2x3 – 5x2 + 10x – 4

● Cara (2) dengan skema

= 2x × x2 + 2x × (–2x) + 2x × 4 + (–1) × x2 + (– 1) × (–2x) + (–1) × 4

= 2x3 – 4x2 + 8x – x2 + 2x – 4

= 2x3 – 4x2 – x2 + 8x + 2x – 4

= 2x3 – 5x2 + 10x – 4

4. (x + 2)(x – 2) kita selesaikan dengan dua cara, yaitu sebagai berikut.

● Cara (1) dengan sifat distributif

(x + 2)(x – 2) = x(x – 2) + 2(x – 2)

= x2 – 2x + 2x – 4

= x2 – 4

● Cara (2) dengan skema

= x × x + x × (–2) + 2 × x + 2 × (–2)

= x2 – 2x + 2x – 4

= x2 – 4

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan seperti tersebut di atas disebut menjabarkan atau menguraikan. Amatilah contoh soal nomor 4 di atas. Apakah kalian sepakat bahwa secara umum bentuk perkalian (x + a)(x – a) = x2 – a2? Diskusikan hal tersebut dengan temanmu.

Kumpulan Contoh Soal dan Pembahasan

1. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini.

a. 2(–8a – 3b) –4a + 9b

b. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)

c. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m)

Penyelesaian:

a. 2(–8a – 3b) – 4a + 9b = -16a – 6b – 4a + 9b

= -16a – 4a – 6b + 9b

= (-16 – 4)a + (-6 + 9)b

= -20a + 3b

b. –3(4k2l + 3kl2) + 2(–9k2l – 4kl2)

= –12k2l – 9kl2 – 18k2l – 8kl2

= –12k2l – 18k2l – 9kl2 – 8kl2

= (-12 – 18)k2l + (-9 – 8)kl2

= -30k2l – 17kl2

c. 5(3m3 – 5m2 + m) – 2(m3 + 4m2 – 9m)

= 15m3 – 25m2 + 5m – 2m3 – 8m2 + 18m

= 15m3 – 2m3 – 25m2 – 8m2 + 5m + 18m

= (15 – 2)m3 + (-25 – 8)m2 + (5 + 18)m

= 13m3 – 33m2 + 23m

2. Nyatakan hasil perkalian bentuk aljabar berikut sebagai jumlah atau selisih.

a. -3(a – 2b + 5)

b. xy(x2 – 4)

c. 1/2(2x + 6)

d. 2(x + 3)

e. -3(2a + 5)

f. –p(p2 – 3)

Penyelesaian:

a. -3(a – 2b + 5) = -3a + 6b – 15

b. xy(x2 – 4) = x3y – 4xy

c. 1/2(2x + 6) = x + 3

d. 2(x + 3) = 2x + 6

e. -3(2a + 5) = -6a – 15

f. –p(p2 – 3) = -p3 + 3p

3. Nyatakan bentuk aljabar berikut sebagai perkalian konstanta dengan bentuk aljabar.

a. 5x – 15y

b. –2p + q – 3r

c. 3x2 + 9xy – 18xy2

d. –4p + 8r2

Penyelesaian:

a. 5x – 15y

konstanta-konstantanya adalah 5 dan -15. FPB dari 5 dan 15 adalah 5, maka bentuk perkalian konstantanya adalah sebagai berikut.

5x – 15y = 5(x – 3y)

b. –2p + q – 3r

konstanta-konstantanya adalah-2, 1 dan -3. FPB-nya sudah pasti 1, maka bentuk aljabar tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian konstanta.

c. 3x2 + 9xy – 18xy2

konstanta-konstantanya adalah 3, 9, dan -18. FPB dari bilangan-bilangan 3, 9 dan 18 adalah 3. Maka bentuk perkalian kontantanya adalah sebagai berikut.

3x2 + 9xy – 18xy2 = 3(x2 + 3xy – 6xy2)

d. –4p + 8r2

konstanta-konstantanya adalah -4 dan 8. FPB dari 4 dan 8 adalah 4. Dengan demikian, bentuk perkalian konstantanya adalah sebagai berikut.

–4p + 8r2 = 4(-p + 2r2)

Atau bisa juga dituliskan sebagai berikut.

–4p + 8r2 = -4(p – 2r2)

4. Tentukan hasil penjabaran bentuk aljabar berikut ini.

a. (x + 2)(x – 3)

b. (2x – 3)(x + 4)

c. (4k + 1)2

d. (3m + 2n)(3m – 2n)

e. (3 – a)(5 + a)

f. (2 + a)(a2 – 2a + 1)

Penyelesaian:

a. (x + 2)(x – 3) = x(x – 3) + 2(x – 3)

= x2 – 3x + 2x – 6

= x2 – x – 6

b. (2x – 3)(x + 4) = 2x(x + 4) – 3(x + 4)

= 2x2 + 8x – 3x – 12

= 2x2 + 5x – 12

c. (4k + 1)2 = (4k + 1)(4k + 1)

= 4k(4k + 1) + 1(4k + 1)

= 16k2 + 4k + 4k + 1

= 16k2 + 8k + 1

d. (3m + 2n)(3m – 2n) = 3m(3m – 2n) + 2n(3m – 2n)

= 9m2 – 6mn + 6mn – 4n2

= 9m2 – 4n2

e. (3 – a)(5 + a) = 3(5 + a) – a(5 + a)

= 15 + 3a – 5a – a2

= 15 – 2a – a2

f. (2 + a)(a2 – 2a + 1) = 2(a2 – 2a + 1) + a(a2 – 2a + 1)

= 2a2 – 4a + 2 + a3 – 2a2 + a

= a3 + 2a2 – 2a2 – 4a + a + 2

= a3 – 3a + 2